甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者-优题课

甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中三人答对的概率分别为,且各人回答得正确与否相互之间没有影响.
(1)若用表示甲队的总得分,求随机变量分布列和数学期望；
(2)用表示事件“甲、乙两队总得分之和为”,用表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”,求.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：随机思想的发展

已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ .

( I ) 求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值;

( II )求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

$设数列 A : a_{1}, a_{2}, \dots a_{N} (N \geq) .如果对小于 n (2 \leq n \leq N)$ ， $的每个正整数 k 都有 a_{k} < a_{n}$ 则称 $n$ 是数列 $A$ 的一个 " $G$ 时刻" $，$ 记 $G (A)$ 是数列 $A$ 的所有 " $G$ 时刻" 组成的集合.

（1）对数列 A: $- 2, 2, - 1, 1, 3$ , 写出 $G (A)$ 的所有元素;

（2）证明：若数列 $A$ 中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n} > a_{1}$ , 则 $G (A) \neq \emptyset$ ;

（3）证明：若数列 $A$ 满足 $a_{n} - a_{n - 1} \leq (n = 2, 3, \dots ， N)$ 则G（A）的元素个数小于 $a_{N} - a_{1}$ ；

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A (a, 0), B (0, b), O (0, 0), Δ OAB$ 的面积为 1 .

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 $P$ 的椭圆 $C$ 上一点, 直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ , 直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ .

求证: $| AN | \cdot | BM |$ 为定值.

设函数 $f (x) = x e^{a - x} + bx$ , 曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $y = （e - 1） x + 4$ ,

（1）求 $a ， b$ 的值；

（2）求 $f (x)$ 的单调区间；

如图, 在四棱锥 $P - ABCD$ 中, 平面 $PAD ⊥$ 平面 $ABCD, PA ⊥ PD, PA = PD, AB ⊥ AD$ , $AB = 1, AD = 2, AC = CD = \sqrt{5}$ .

(1) 求证: $PD ⊥$ 平面 $PAB$ ;

(2) 求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;

(3) 在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ , 使得 $BM / /$ 平面 $PCD$ ? 若存在, 求 $\frac{AM}{AP}$ 的值; 若不存在, 说明理由.

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