(本小题满分13分)已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程-优题课

(本小题满分13分)已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，
（1）求矩形的外接圆的方程；
（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = |x + 1| - 2 |x - a|, a > 0$ .

（Ⅰ）当 $a = 1$ 时,求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴围成的三角形面积大于6,求 $a$ 的取值范围.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1} : x = - 2$ ，圆 $C_{2} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ,以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (p \in R)$ ，设 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 的交点为 $M$ , $N$  ,求 $△ C_{2} M N$ 的面积.

选修4-1：几何证明选讲

如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B C$ 交 $⊙ O$ 于 $E$ .

（Ⅰ）若 $D$ 为 $A C$ 的中点，证明： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（Ⅱ）若 $O A = \sqrt{3} C E$ ，求 $∠ A C B$ 的大小.

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + \frac{1}{4}, g (x) = - \ln x$ .
（Ⅰ）当 $a$ 为何值时， $x$ 轴为曲线 $y = f (x)$ 的切线；
（Ⅱ）用 $m i n$ $\{m, n\}$ 表示 $m, n$ 中的最小值，设函数 $h (x) = m i n \{f (x), g (x)\} (x > 0)$ ，讨论 $h (x)$ ）零点的个数.

在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C ： y = \frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $y = k x + a (a > 0)$ 交与 $M, N$ 两点，
（Ⅰ）当 $k = 0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程；
（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $∠ O P M = ∠ O P N$ ？说明理由.

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