已知与成正比例函数关系，且时，。（1）写出与之间的函数关系式-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ． $M$ 为线段 $OB$ 上的一个动点，过点 $M$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $P$ ，交 $BC$ 于点 $Q$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$ 作 $PN ⊥ BC$ ，垂足为点 $N$ ．设 $M$ 点的坐标为 $M (m, 0)$ ，请用含 $m$ 的代数式表示线段 $PN$ 的长，并求出当 $m$ 为何值时 $PN$ 有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$ 在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CD$ 是中线， $AC = BC$ ，一个以点 $D$ 为顶点的 $45 °$ 角绕点 $D$ 旋转，使角的两边分别与 $AC$ 、 $BC$ 的延长线相交，交点分别为点 $E$ 、 $F$ ， $DF$ 与 $AC$ 交于点 $M$ ， $DE$ 与 $BC$ 交于点 $N$ ．

（1）如图1，若 $CE = CF$ ，求证： $DE = DF$ ；

（2）如图2，在 $∠ EDF$ 绕点 $D$ 旋转的过程中，试证明 $C D^{2} = CE \cdot CF$ 恒成立；

（3）若 $CD = 2$ ， $CF = \sqrt{2}$ ，求 $DN$ 的长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ 、 $BC$ 于点 $D$ 、 $E$ ，点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $∠ BAC = 2 ∠ CBF$ ．

（1）求证： $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为4， $CF = 6$ ，求 $\tan ∠ CBF$ ．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 和 $y = - 2 x$ 的图象相交于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为 $B$ ，连接 $OB$ ，求 $ΔABO$ 的面积．

2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位： $m)$ 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组	频数
$1.2 ⩽ x < 1.6$	$a$
$1.6 ⩽ x < 2.0$	12
$2.0 ⩽ x < 2.4$	$b$
$2.4 ⩽ x < 2.8$	10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）样本成绩的中位数落在　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 $2.4 ⩽ x < 2.8$ 范围内的有多少人？