定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形-优题课

（阅读）

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

（理解）

（1）如图1，两个直角边长分别为 $a$ 、 $b$ 、斜边长为 $c$ 的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$ 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2， $n$ 行 $n$ 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $n^{2} =$ 　　；

（运用）

（3） $n$ 边形有 $n$ 个顶点，在它的内部再画 $m$ 个点，以 $(m + n)$ 个点为顶点，把 $n$ 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $y$ 个这样的三角形．当 $n = 3$ ， $m = 3$ 时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以 $y = 7$ ．

①当 $n = 4$ ， $m = 2$ 时，如图4， $y =$ 　　；当 $n = 5$ ， $m =$ 　　时， $y = 9$ ；

②对于一般的情形，在 $n$ 边形内画 $m$ 个点，通过归纳猜想，可得 $y =$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

将图中的 $A$ 型（正方形）、 $B$ 型（菱形）、 $C$ 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）

在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．

（1）本次调查的样本容量是　　，这组数据的众数为　　元；

（2）求这组数据的平均数；

（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

如图，把平行四边形纸片 $ABCD$ 沿 $BD$ 折叠，点 $C$ 落在点 $C'$ 处， $BC'$ 与 $AD$ 相交于点 $E$ ．

（1）连接 $AC'$ ，则 $AC'$ 与 $BD$ 的位置关系是　　；

（2） $EB$ 与 $ED$ 相等吗？证明你的结论．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $CD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，与 $AB$ 的延长线交于点 $D$ ， $CE ⊥ AB$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BCE = ∠ BCD$ ；

（2）若 $AD = 10$ ， $CE = 2 BE$ ，求 $⊙ O$ 的半径．