已知函数(Ⅰ)求的值域；(Ⅱ)设，函数．若对任意，总存在，使-优题课

已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $s$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\frac{|O P|}{|O M|} = λ$ ，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

如图,四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 $\sqrt{2}$ 倍, $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点.

（Ⅰ）求证： $A C ⊥ S D$ ;
（Ⅱ）若 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ,求二面角 $P - A C - D$ 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ,使得 $B E ∥$ 平面 $P A C$ .若存在,求 $S E : E C$ 的值；若不存在，试说明理由.

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 $A$ 类工人，乙为 $B$ 类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

表1：

表2：

（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言， $A$ 类工人中个体间的差异程度与 $B$ 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计 $A$ 类工人和 $B$ 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

为了测量两山顶 $M, N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A, B$ 两点进行测量， $A, B, M, N$ 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 $A, B$ 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

已知f（x）、g（x）是定义在［a，b］上的函数，若对任意，总有，则称f（x）可被g（x）替代，试判断函数能否被替代，并说明理由．