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题文

(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,面是正三角形,

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若异面直线所成角的余弦值为,求二面角的大小;

科目 数学   题型 解答题   难度 中等
知识点: 空间向量的应用
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(本小题满分分)在平面直角坐标系中,已知两个定点.动点轴上的射影是移动而移动),若对于每个动点M总存在相应的点满足,且
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过定点的直线(直线轴不重合)交曲线两点,求证:直线与直线交点总在某直线上.

(本小题满分分)
在四棱锥中,平面平面,△是等边三角形,底面是边长为的菱形,的中点,的中点.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ) 求证:∥平面
(Ⅲ) 求直线与平面所成角的余弦值.

(本小题满分分)某学校高三年级有学生1000名,经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学),另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学),现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该年级的学生中共抽查100名同学.
(Ⅰ)求甲、乙两同学都被抽到的概率,其中甲为A类同学,乙为B类同学;
(Ⅱ) 测得该年级所抽查的100名同学身高(单位:厘米) 频率分布直方图如右图:
(ⅰ) 统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值为165)作为代表.据此,计算这100名学生身高数据的期望及标准差(精确到0.1);
(ⅱ) 若总体服从正态分布,以样本估计总体,据此,估计该年级身高在范围中的学生的人数.
(Ⅲ) 如果以身高达170cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到下列联表:
体育锻炼与身高达标2×2列联表


身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40


不积极参加体育锻炼

15

总计


100

(ⅰ)完成上表;
(ⅱ)请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系?
参考公式:K=,参考数据:

P(Kk)
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

(本小题满分分)设数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求,,,并求出数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,试求的取值范围.

(满分12分)直线l 与抛物线y2 = 4x 交于两点ABO 为原点,且= -4.
(I)求证:直线l 恒过一定点;
(II)若 4≤| AB | ≤,求直线l斜率k 的取值范围;
(Ⅲ) 设抛物线的焦点为F,∠AFB = θ,试问θ能否等于120°?若能,求出相应的直线l 的方程;若不能,请说明理由.

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