如图ABC中，AD平分BAC，ABBDAC，求的值．-优题课

如图，点 $D$ 在 $AB$ 上， $E$ 在 $AC$ 上， $AB = AC$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $AD = AE$ ．

第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．

先化简，再求值： $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1)$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m (m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m = \frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $OA = \sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x ⩽ 2 m$ 时，若函数 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P (4, 2)$ 、 $Q (4, 2 - 2 m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 与四边形 $PQNM$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AB = 5$ ， $BC = 3$ ，点 $D$ 为边 $AC$ 的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，连结 $PD$ ．作点 $A$ 关于直线 $PD$ 的对称点 $A'$ ，连结 $A' D$ 、 $A' A$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）线段 $AD$ 的长为　　；

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $BP$ 的长；

（3）当点 $A'$ 在 $ΔABC$ 内部时，求 $t$ 的取值范围；

（4）当 $∠ AA' D$ 与 $∠ B$ 相等时，直接写出 $t$ 的值．