本小题满分12分）已知实数，．（Ⅰ）求点（a，b）在第一象限-优题课

本小题满分12分）已知实数，．
（Ⅰ）求点（a，b）在第一象限的概率；
（Ⅱ）求直线与圆有公共点的概率．

科目数学题型解答题难度中等

设函数 $f_{x} (x) = - 1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \dots + \frac{x^{n}}{n^{2}} (x \in R, n \in N^{*})$ ，证明：
（Ⅰ）对每个 $n \in N^{*}$ ，存在唯一的 $x_{n} \in [\frac{2}{3}, 1]$ ，满足 $f_{x} (x_{n}) = 0$ ；
（Ⅱ）对任意 $p \in N^{*}$ ，由（Ⅰ）中 $x_{n}$ 构成的数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $0 < x_{n} - x_{n - p} < \frac{1}{n}$ .

如图，圆锥顶点为 $P$ .底面圆心为 $O$ ，其母线与底面所成的角为 $22 . 5^{°}$ . $A B$ 和 $C D$ 是底面圆 $O$ 上的两条平行的弦，轴 $O P$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $60^{°}$ ，

（Ⅰ）证明：平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线平行于底面；
（Ⅱ）求 $\cos ∠ C O D$ .

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{1 - a^{2}} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上.
（Ⅰ）若椭圆 $E$ 的焦距为1，求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2} P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$ ，并且 $F_{1} P ⊥ F_{1} Q$ ，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上.

设函数 $f (x) = a x - (1 + a) x^{2}$ ，其中 $a > 0$ ，区间 $I = \{x | f (x) > 0\}$

（Ⅰ）求 $I$ 的长度（注：区间 $(α, β)$ 的长度定义为 $β - α$ ）；
（Ⅱ）给定常数 $k \in (0, 1)$ ，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

已知函数 $f (x) = 4 \cos ω x \cdot \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；
（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调性.

试卷网试题网古诗词网作文网范文网