如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①ABAC②A-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \sqrt{3}$ （其中 $a$ 、 $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为对称轴与直线 $BC$ 的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点 $P$ ，使得 $ΔDPB ∽ ΔACB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）若点 $Q$ 为点 $O$ 关于直线 $BC$ 的对称点，点 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，点 $N$ 为坐标平面内一点，是否存在这样的点 $M$ 和点 $N$ ，使得以 $Q$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

阅读理解：

问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $P$ 为底边 $BC$ 上的任意一点， $PD ⊥ AB$ 于点 $D$ ， $PE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，求证： $PD + PF$ 是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？

思路：我们可以将底边 $BC$ 上的任意一点 $P$ 移动到特殊的位置，如图②，将点 $P$ 移动到底边的端点 $B$ 处，这样，点 $P$ 、 $D$ 都与点 $B$ 重合，此时， $PD = 0$ ， $PE = BE$ ，这样 $PD + PE = BE$ ．因此，在证明这一命题时，我们可以过点 $B$ 作 $AC$ 边上的高 $BF$ （如图③ $)$ ，证明 $PD + PE = BF$ 即可．

请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：

如图④，在正方形 $ABCD$ 中，一直角三角板的直角顶点 $E$ 在对角线 $BD$ 上运动，一条直角边始终经过点 $C$ ，另一条直角边与射线 $DA$ 相交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $FH ⊥ BD$ ，垂足为 $H$ ．

（1）试猜想 $EH$ 与 $CD$ 的数量关系，并加以证明；

（2）当点 $E$ 在 $DB$ 的延长线上运动时， $EH$ 与 $CD$ 之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；

（3）如图⑥所示，如果将正方形 $ABCD$ 改为矩形 $ABCD$ ， $∠ ADB = θ$ ，其它条件不变，请直接写出 $EH$ 与 $CD$ 的数量关系．

某商店购进一批进价为20元 $/$ 件的日用商品，第一个月，按进价提高 $50 %$ 的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 的关系如图所示．

（1）图中点 $P$ 所表示的实际意义是　　；销售单价每提高1元时，销售量相应减少　　件；

（2）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式　　；自变量 $x$ 的取值范围为　　；

（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

如图，已知 $ΔABC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC < BC$ ，点 $D$ 为 $AB$ 的中点，过点 $D$ 作 $BC$ 的垂线，垂足为点 $F$ ，过点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 作 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $CD$ 、 $DE$ ．

（1）求证： $DF$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 3$ ， $BC = 9$ ，求 $DE$ 的长．

“五 $\cdot$ 一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为 $5 : 12$ 的山坡 $AB$ 向上走了1300米，到达缆车站 $B$ 处，乘坐缆车到达山顶 $C$ 处，已知点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一平面内，从山脚 $A$ 处看山顶 $C$ 处的仰角为 $30 °$ ，缆车行驶路线 $BC$ 与水平面的夹角为 $60 °$ ，求山高 $CD$ ．（结果精确到1米， $\sqrt{3} \approx 1.732, \sqrt{2} \approx 1.414)$

（注 $:$ 坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）