计算：÷-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 是矩形， $AB = 20$ ， $BC = 10$ ，以 $CD$ 为一边向矩形外部作等腰直角 $ΔGDC$ ， $∠ G = 90 °$ ．点 $M$ 在线段 $AB$ 上，且 $AM = a$ ，点 $P$ 沿折线 $AD - DG$ 运动，点 $Q$ 沿折线 $BC - CG$ 运动（与点 $G$ 不重合），在运动过程中始终保持线段 $PQ / / AB$ ．设 $PQ$ 与 $AB$ 之间的距离为 $x$ ．

（1）若 $a = 12$ ．

①如图1，当点 $P$ 在线段 $AD$ 上时，若四边形 $AMQP$ 的面积为48，则 $x$ 的值为　　；

②在运动过程中，求四边形 $AMQP$ 的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$ 在线段 $DG$ 上时，要使四边形 $AMQP$ 的面积始终不小于50，求 $a$ 的取值范围．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE$ 平分 $∠ DAB$ ，已知 $CE = 6$ ， $BE = 8$ ， $DE = 10$ ．

（1）求证： $∠ BEC = 90 °$ ；

（2）求 $\cos ∠ DAE$ ．

只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如 $20 = 3 + 17$ ．

（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　；

（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．

扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．

每天课外阅读时间 $t / h$	频数	频率
$0 < t ⩽ 0.5$	24
$0.5 < t ⩽ 1$	36	0.3
$1 < t ⩽ 1.5$		0.4
$1.5 < t ⩽ 2$	12	$b$
合计	$a$	1

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿 $DF$ 折叠，使点 $A$ 落在 $CD$ 边上点 $E$ 处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$ 再次折叠，使得点 $B$ 落在边 $CD$ 上点 $B'$ 处，如图③，两次折痕交于点 $O$ ；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $OB$ 、 $OE$ 、 $OC$ 、 $FD$ ，如图④．

（探究）

（1）证明： $ΔOBC ≅ ΔOED$ ；

（2）若 $AB = 8$ ，设 $BC$ 为 $x$ ， $O B^{2}$ 为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的关系式．