如图，在ΔABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线M-优题课

如图，在ΔABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，∠ACB以及外角∠ACD的平分线分别交MN于点E、F。
求证OE=OF
当点O运动到AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？回答并证明你的结论。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

先化简，再求值： $(x - 2) (x + 2) - x (x - 1)$ ，其中 $x = 3$ ．

如图，在等腰 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = 14 \sqrt{2}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $BC$ 上，将线段 $ED$ 绕点 $E$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $EF$ ．

（1）如图1，若 $AD = BD$ ，点 $E$ 与点 $C$ 重合， $AF$ 与 $DC$ 相交于点 $O$ ．求证： $BD = 2 DO$ ．

（2）已知点 $G$ 为 $AF$ 的中点．

①如图2，若 $AD = BD$ ， $CE = 2$ ，求 $DG$ 的长．

②若 $AD = 6 BD$ ，是否存在点 $E$ ，使得 $ΔDEG$ 是直角三角形？若存在，求 $CE$ 的长；若不存在，试说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$ 的边长为4，边 $OA$ ， $OC$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上，把正方形 $OABC$ 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 $P$ 为抛物线 $y = - {(x - m)}^{2} + m + 2$ 的顶点．

（1）当 $m = 0$ 时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当 $m = 3$ 时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点 $P$ 在正方形 $OABC$ 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求 $m$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，正六边形 $ABCDEF$ 的对称中心 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象上，边 $CD$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，已知 $CD = 2$ ．

（1）点 $A$ 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

（2）若该反比例函数图象与 $DE$ 交于点 $Q$ ，求点 $Q$ 的横坐标；

（3）平移正六边形 $ABCDEF$ ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．