（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，设-优题课

（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，设的最小值为恒成立，求实数t的取值范围.

科目数学题型解答题难度中等

已知 $f (x) = |a x + 1| (a \in R)$ ,不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $\{x - 2 \leq x \leq 1\}$

(Ⅰ)求 $a$ 的值；
(Ⅱ)若 $f (x) - 2 f (\frac{x}{2}) \leq k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

在直角坐标 $x O y$ 中，圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} : (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ .
(Ⅰ)在以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程，并求出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆 $C_{1}, C_{2}$ 的公共弦的参数方程.

如图，圆 $O$ 和圆 $O^{`}$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $A$ 作两圆的切线分别交两圆于 $C, D$ 两点，连接 $D B$ 并延长交圆 $O$ 于点 $E$ 。证明：
(Ⅰ) $A C \cdot B D = A D \cdot A B$ ；
(Ⅱ) $A C = A E$ 。

设 $f (x) = \ln x + \sqrt{x} - 1$ ，证明：
(Ⅰ)当 $x > 1$ 时， $f (x) < \frac{3}{2} (x - 1)$ ；
(Ⅱ)当 $1 < x < 3$ 时， $f (x) < \frac{9 (x - 1)}{x + 5}$ 。

如图,动圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = t^{2}, 1 < t < 3$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, B, C, D$ 四点,点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{2}$ 的左,右顶点.
(Ⅰ)当 $t$ 为何值时，矩形 $A B C D$ 的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 $M$ 的轨迹方程.

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