已知数列满足(1)求证:数列的奇数项,偶数项均构成等差数列;-优题课

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在圆点 $O$ ，长轴左、右端点 $M$ 、 $N$ 在x轴上，椭圆 $C_{1}$ 的短轴为 $M N$ ，且 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l ⊥ M N$ ， $l$ 与 $C_{1}$ 交于两点，与 $C_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ .

（I）设 $e = \frac{1}{2}$ ，求 $| B C |$ 与 $| A D |$ 的比值；
（II）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $B O / / A N$ ,并说明理由.

设函数 $f (x) = x + a x^{2} + b \ln x$ ，曲线 $y = f (x)$ 过 $P (1, 0)$ ，且在 $P$ 点处的切斜线率为 $2$ .
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）证明： $f (x) \leq 2 x - 2$ 。

$某农搜索场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2 n 小块地中，随机选 n 小块地种品种甲，另外 n 小块地种植品种乙。（ 1 ）假设 n = 4 ，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X ，求 X 的分布列和数学期望；（ 2 ）试验时每大块地分成 8 小块，即 n = 8 ，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： k g / h m 2 ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？$

如图,四边形 $A B C D$ 为正方形, $Q A ⊥$ 平面 $A B C D, P D ∥ Q A, Q A = A B = \frac{1}{2} P D$ .

(I)证明: $P Q ⊥$ 平面 $D C Q$ ；
(II)求棱锥 $Q - A B C D$ 的体积与棱锥 $P - D C Q$ 的体积的比值.

$△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ .

(1)求 $\frac{b}{a}$

(2)若 $C^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a^{2}$ ,求 $B$ .