设函数.（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；-优题课

设函数.
（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值点.

科目数学题型解答题难度中等

如图，在锥体 $P - A B C D$ 中，ABCD是边长为1的菱形，且 $∠ D A B = 60 °$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ， $P B = 2$ ，E，F分别是BC，PC的中点.

（1）证明： $A D ⊥ 平面 D E F$

（2）求二面角 $P - A D - B$ 的余弦值

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素 $x, y$ 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素 $x, y$ 满足 $x \geq 175$ 且 $y \geq 75$ ，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 $ξ$ 的分布列极其均值（即数学期望）。

已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{3} x - \frac{π}{6}), x \in R$ .

(1)求 $f (\frac{5 π}{4})$ 的值;

(2)设 $α, β \in [0, \frac{π}{2}], f (3 α + \frac{π}{2}) = \frac{10}{13}, f (3 β + 2 π) = \frac{6}{5}$ ，求 $\cos (α + β)$ 的值.

（Ⅰ）设函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{2 x}{x + 2}$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$

（Ⅱ）从编号 $1$ 到 $100$ 的 $100$ 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$ 次，设抽到的 $20$ 个号码互不相同的概率为 $p$ ，证明： $p < {(\frac{9}{10})}^{19} < \frac{1}{e^{2}}$

已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点，过 $F$ 且斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与交 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{0}$ .

（Ⅰ）证明：点 $P$ 在 $C$ 上；

（Ⅱ）设点 $P$ 关于点 $O$ 的对称点为 $Q$ ，证明： $A, P, B, Q$ 四点在同一个圆上.

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