已知代数式x2y的值是3，则代数式2x4y1值是.-优题课

解方程： $\frac{x - 3}{x + 3} = 2 - \frac{x}{x - 3}$ ．

计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + | 2 - \sqrt{5} | + \sqrt{2} \times (- \sqrt{8})$ ．

问题提出

（1）如图①， $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 12$ ，若点 $O$ 是 $ΔABC$ 的内心，则 $OA$ 的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 12$ ， $AD = 18$ ，如果点 $P$ 是 $AD$ 边上一点，且 $AP = 3$ ，那么 $BC$ 边上是否存在一点 $Q$ ，使得线段 $PQ$ 将矩形 $ABCD$ 的面积平分？若存在，求出 $PQ$ 的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由 $ΔABM$ 草地和弦 $AB$ 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在 $M$ 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于 $∠ AMB$ （即每次喷灌时喷灌龙头由 $MA$ 转到 $MB$ ，然后再转回，这样往复喷灌． $)$ 同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出 $AB = 24 m$ ， $MB = 10 m$ ， $ΔAMB$ 的面积为 $96 m^{2}$ ；过弦 $AB$ 的中点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $E$ ，又测得 $DE = 8 m$ ．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

在同一直角坐标系中，抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - 2 x - 3$ 与抛物线 $C_{2} : y = x^{2} + mx + n$ 关于 $y$ 轴对称， $C_{2}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 在点 $B$ 的左侧．

（1）求抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的函数表达式；

（2）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（3）在抛物线 $C_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ，在抛物线 $C_{2}$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得以 $AB$ 为边，且以 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $P$ 、 $Q$ 两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $⊙ O$ 的半径为5， $PA$ 是 $⊙ O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $AC ⊥ PB$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ 、交 $PB$ 于点 $D$ ，连接 $BC$ ，当 $∠ P = 30 °$ 时，

（1）求弦 $AC$ 的长；

（2）求证： $BC / / PA$ ．