如图，Rt△ABC中，∠C90°，BC6，AC8．点P，Q都-优题课

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

计算： ${(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \times 8$ ．

如图，已知锐角三角形 $ABC$ 内接于圆 $O$ ， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，连接 $OA$ ．

（1）若 $∠ BAC = 60 °$ ，

①求证： $OD = \frac{1}{2} OA$ ．

②当 $OA = 1$ 时，求 $ΔABC$ 面积的最大值．

（2）点 $E$ 在线段 $OA$ 上， $OE = OD$ ，连接 $DE$ ，设 $∠ ABC = m ∠ OED$ ， $∠ ACB = n ∠ OED (m$ ， $n$ 是正数），若 $∠ ABC < ∠ ACB$ ，求证： $m - n + 2 = 0$ ．

设二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x_{1}$ ， $x_{2}$ 是实数）．

（1）甲求得当 $x = 0$ 时， $y = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $y = 0$ ；乙求得当 $x = \frac{1}{2}$ 时， $y = - \frac{1}{2}$ ．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过 $(0, m)$ 和 $(1, n)$ 两点 $(m$ ， $n$ 是实数），当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时，求证： $0 < mn < \frac{1}{16}$ ．

如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，正方形 $CEFG$ 的面积为 $S_{1}$ ，点 $E$ 在 $DC$ 边上，点 $G$ 在 $BC$ 的延长线上，设以线段 $AD$ 和 $DE$ 为邻边的矩形的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{1} = S_{2}$ ．

（1）求线段 $CE$ 的长；

（2）若点 $H$ 为 $BC$ 边的中点，连接 $HD$ ，求证： $HD = HG$ ．

方方驾驶小汽车匀速地从 $A$ 地行驶到 $B$ 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为 $t$ （单位：小时），行驶速度为 $v$ （单位：千米 $/$ 小时），且全程速度限定为不超过120千米 $/$ 小时．

（1）求 $v$ 关于 $t$ 的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从 $A$ 地出发．

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达 $B$ 地，求小汽车行驶速度 $v$ 的范围．

②方方能否在当天11点30分前到达 $B$ 地？说明理由．

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