某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐蓬的生产任务．根据-优题课

先化简，再求值： $\frac{2 a + 1}{a + 1} + \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 1} \div (\frac{2 a - 1}{a - 1} - a - 1)$ ，其中 $a = - \frac{3}{2}$ ．

如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D (0, 3)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $OE ⊥ AB$ ；

（3） $P$ 为抛物线上的一动点，直线 $PO$ 交 $AD$ 于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使以 $A$ ， $O$ ， $M$ 为顶点的三角形与 $ΔACD$ 相似？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体 $ABCD - A' B' C' D'$ （图 $1)$ ，因为在平面 $AA' C' C$ 中， $CC' / / A A^{'}$ ， $AA'$ 与 $AB$ 相交于点 $A$ ，所以直线 $AB$ 与 $AA'$ 所成的 $∠ BAA'$ 就是既不相交也不平行的两条直线 $AB$ 与 $CC'$ 所成的角．

解决问题

如图1，已知正方体 $ABCD - A' B' C' D^{'}$ ，求既不相交也不平行的两直线 $BA'$ 与 $AC$ 所成角的大小．

（2）如图2， $M$ ， $N$ 是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是　　；

②在所选正确展开图中，若点 $M$ 到 $AB$ ， $BC$ 的距离分别是2和5，点 $N$ 到 $BD$ ， $BC$ 的距离分别是4和3， $P$ 是 $AB$ 上一动点，求 $PM + PN$ 的最小值．

某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

如图，点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，点 $D$ 是 $BC$ 的中点，连接 $OD$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，作 $∠ EBP = ∠ EBC$ ， $BP$ 交 $OE$ 的延长线于点 $P$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 2$ ， $PD = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．