先化简，再求值：：，其中a．-优题课

把函数 $C_{1} : y = a x^{2} - 2 ax - 3 a (a \neq 0)$ 的图象绕点 $P (m, 0)$ 旋转 $180 °$ ，得到新函数 $C_{2}$ 的图象，我们称 $C_{2}$ 是 $C_{1}$ 关于点 $P$ 的相关函数． $C_{2}$ 的图象的对称轴与 $x$ 轴交点坐标为 $(t, 0)$ ．

（1）填空： $t$ 的值为　　（用含 $m$ 的代数式表示）

（2）若 $a = - 1$ ，当 $\frac{1}{2} ⩽ x ⩽ t$ 时，函数 $C_{1}$ 的最大值为 $y_{1}$ ，最小值为 $y_{2}$ ，且 $y_{1} - y_{2} = 1$ ，求 $C_{2}$ 的解析式；

（3）当 $m = 0$ 时， $C_{2}$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧）．与 $y$ 轴相交于点 $D$ ．把线段 $AD$ 原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到它的对应线段 $A' D'$ ，若线 $A' D'$ 与 $C_{2}$ 的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

阅读下面材料，完成（1） $-$ （3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 在 $BC$ 上， $AD = AB$ ， $AB = kBD$ （其中 $\frac{\sqrt{2}}{2} < k < 1) ∠ ABC = ∠ ACB + ∠ BAE$ ， $∠ EAC$ 的平分线与 $BC$ 相交于点 $F$ ， $BG ⊥ AF$ ，垂足为 $G$ ，探究线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $∠ BAE$ 与 $∠ DAC$ 相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系．”

$\dots \dots$

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $BG$ ，与 $AC$ 相交于点 $H$ （如图 $2)$ ，可以求出 $\frac{AH}{HC}$ 的值．”

（1）求证： $∠ BAE = ∠ DAC$ ；

（2）探究线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系（用含 $k$ 的代数式表示），并证明；

（3）直接写出 $\frac{AH}{HC}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图1，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 的切线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．且 $∠ APC = ∠ BCP$

（1）求证： $∠ BAC = 2 ∠ ACD$ ；

（2）过图1中的点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，垂足为 $E$ （如图 $2)$ ，当 $BC = 6$ ， $AE = 2$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A (3, 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B$ 在 $OA$ 的延长线上， $BC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $BC$ 与反比例函数的图象相交于点 $D$ ，连接 $AC$ ， $AD$ ．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若 $S_{ΔACD} = \frac{3}{2}$ ，设点 $C$ 的坐标为 $(a, 0)$ ，求线段 $BD$ 的长．

某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元

（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；

（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？