（本小题满分10分）若，求成立时的取值范围。-优题课

已知 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_{2} S_{n} + a_{1}$ ，其中 $a_{2} \neq 0$ .

（Ⅰ）求证： ${a_{n}}$ 首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若 $a_{2} > - 1$ ，求证： $S_{n} \leq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ，并给指出等号成立的充要条件.

已知椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，线段 $O F_{1}, O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $△ A B_{1} B_{2}$ 是面积为4的直角三角形.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ , $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ，求直线 $l$ 的方程

已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4, A C = B C = 3, D$ 为 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求点 $C$ 到平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的距离;

（Ⅱ）若 $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ，求二面角 $A_{1} - C D - C_{1}$ 的平面角的余弦值.

设 $f (x) = 4 \cos (ω x - \frac{π}{6}) - \cos (2 ω x + π)$ ,其中 $ω > 0$

（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 的值域；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $[- \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}]$  上为增函数，求 $ω$ 的最大值

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响.

（Ⅰ）求甲获胜的概率；

（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数 $ξ$ 的分布列与期望