阅读下列材料再解方程：│x2│3，我们可以将x2视为一个整体-优题课

某公司研发了一款成本为60元的保温饭盒，投放市场进行试销售，按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润不高于 $65 %$ ，市场调研发现，保温饭盒每天的销售数量 $y$ （个 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 满足一次函数关系；当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个（利润率 $= \frac{利润}{成本} \times 100 \ %)$

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，公司每天获得利润最大，最大利润为多少元？

如图， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $E$ 是线段 $BC$ 延长线上一点， $ED ⊥ AB$ ，垂足为 $D$ ， $ED$ 交线段 $AC$ 于点 $F$ ，点 $O$ 在线段 $EF$ 上， $⊙ O$ 经过 $C$ 、 $E$ 两点，交 $ED$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ E = 30 °$ ， $AD = 1$ ， $BD = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $EF$ 过点 $O$ 且与 $AB$ 、 $CD$ 分别相交于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $EC$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ；

（2）若 $EF ⊥ AC$ ， $ΔBEC$ 的周长是10，求 $▱ ABCD$ 的周长．

为了解学生对校园网站五个栏目的喜爱情况（规定每名学生只能选一个最喜爱的），学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有　　人，扇形统计图中 $m =$ 　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若该校有1800名学生，估计全校最喜爱“校长信箱”栏目的学生有多少人？

（4）若从3名最喜爱“校长信箱”栏目的学生和1名最喜爱“时事政治”栏目的学生中随机抽取两人参与校园网站的编辑工作，用列表或画树状图的方法求所抽取的两人都最喜爱“校长信箱”栏目的概率．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 的图象经过平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $B$ ， $D (5, 2) DE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ．点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，且 $\tan ∠ BAO = \frac{1}{2}$ ．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$ 是否在该函数图象上；

（2）点 $F$ 是线段 $AD$ 上一点，在线段 $AD$ 下方作 $∠ HFK = 90 °$ ．

①当点 $F$ 运动时，使 $∠ HFK$ 的一边 $FH$ 始终过点 $O$ ，另一边 $FK$ 交射线 $DE$ 于点 $N$ ，（不含点 $D$ 与 $N$ 重合的情形）设 $AF = n$ ， $DN = m$ ，求 $m$ 关于 $n$ 的函数关系式，并求出 $m$ 的取值范围．

②当 $AF = 1$ 时，将 $∠ HFK$ 绕点 $F$ 旋转，一条边 $FH$ 交线段 $OA$ 于点 $P$ ，另一条边 $FK$ 交线段 $OE$ 于点 $Q$ ，连接 $PQ$ ，以 $PQ$ 为直径作 $⊙ M$ ，设圆心 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并直接写出点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $A$ 时圆心 $M$ 运动的路径长．