如图,四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的?画出相应的-优题课

先化简，再求值： $(a - 9 + \frac{25}{a + 1}) \div (a - 1 - \frac{4 a - 1}{a + 1})$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = - 5 x + 5$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一交点为 $B$ ．

（1）求抛物线解析式及 $B$ 点坐标；

（2）若点 $M$ 为 $x$ 轴下方抛物线上一动点，连接 $MA$ 、 $MB$ 、 $BC$ ，当点 $M$ 运动到某一位置时，四边形 $AMBC$ 面积最大，求此时点 $M$ 的坐标及四边形 $AMBC$ 的面积；

（3）如图2，若 $P$ 点是半径为2的 $⊙ B$ 上一动点，连接 $PC$ 、 $PA$ ，当点 $P$ 运动到某一位置时， $PC + \frac{1}{2} PA$ 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线 $AB$ 上的三点 $A (1, 3)$ 、 $B (2, 5)$ 、 $C (4, 9)$ ，有 $k_{AB} = \frac{5 - 3}{2 - 1} = 2$ ， $k_{AC} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ ，发现 $k_{AB} = k_{AC}$ ，兴趣小组提出猜想：若直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 上任意两点坐

标 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $k_{PQ} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， $k_{PQ}$ 是定值，并且是直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 中的 $k$ ，叫做这条直线的斜率．

请你应用以上规律直接写出过 $S (- 2, - 2)$ 、 $T (4, 2)$ 两点的直线 $ST$ 的斜率 $k_{ST} =$ 　　．

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线 $DE$ 与直线 $DF$ 垂直于点 $D$ ， $D (2, 2)$ ， $E (1, 4)$ ， $F (4, 3)$ ．请求出直线 $DE$ 与直线 $DF$ 的斜率之积．

综合应用

如图3， $⊙ M$ 为以点 $M$ 为圆心， $MN$ 的长为半径的圆， $M (1, 2)$ ， $N (4, 5)$ ，请结合探究活动二的结论，求出过点 $N$ 的 $⊙ M$ 的切线的解析式．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的中点为 $O$ ，点 $G$ ， $H$ 在对角线 $AC$ 上， $AG = CH$ ，直线 $GH$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α$ 角，与边 $AB$ 、 $CD$ 分别相交于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合）．

（1）求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；

（2）若 $∠ α = 90 °$ ， $AB = 9$ ， $AD = 3$ ，求 $AE$ 的长．

“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？