（本小题满分13分）已知函数．（1）若为的极值点，求实数的值-优题课

题文

（本小题满分13分）已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为正数的等差数列，数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2 n + 1}$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

如图，三棱台DEF-ABC中， $A B = 2 D E, G, H$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $B D ∥$ 平面 $F G H$ ；
（Ⅱ）若 $C F ⊥ B C, A B ⊥ B C$ 求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $E G H$ .

$△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \sin (A + B) = \frac{\sqrt{6}}{9}, a c = 2 \sqrt{3}$ 求 $\sin A$ 和 $c$ 的值.

某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学 $A_{1,} A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5},$ 名女同学 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求 $A_{1}$ 被选中且 $B_{1}$ 未被选中的概率.

设函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a (x^{2} - x)$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 $\forall x > 0, f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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