在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x5）2＋y2-优题课

题文

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
(1-4班做)（Ⅱ）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
（5-7班做）（Ⅱ）设P(-4,1)为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °, B C = 2 A D, △ P A B$ $与 △ P A D$ 都是边长为2的等边三角形.

（I）证明： $P B ⊥ C D$

（II）求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求 $C$ .

等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{7} = 4, a_{19} = 2 a_{9}$ .

（I）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{x (1 + λ x)}{1 + x}$ .
（Ⅰ）若 $x \geq 0$ 时, $f (x) \leq 0$ ,求 $λ$ 的最小值；
（Ⅱ）设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ ,证明: $a_{2 n} - a_{n} + \frac{1}{4 n} > \ln 2$ .

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为3，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$ .
（Ⅰ）求 $a, b$ ；
（Ⅱ）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{1}| = |B F_{1}|$ ，证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列.

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