如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．（1）求的值-优题课

如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会” $)$ 于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是： $A$ ．“解密世园会”、 $B$ ．“爱我家，爱园艺”、 $C$ ．“园艺小清新之旅”和 $D$ ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．

（1）李欣选择线路 $C$ ．“园艺小清新之旅”的概率是多少？

（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $AC = 40 cm$ ，灯罩 $CD = 30 cm$ ，灯臂与底座构成的 $∠ CAB = 60 °$ ． $CD$ 可以绕点 $C$ 上下调节一定的角度．使用发现：当 $CD$ 与水平线所成的角为 $30 °$ 时，台灯光线最佳．现测得点 $D$ 到桌面的距离为 $49.6 cm$ ．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： $\sqrt{3}$ 取 $1.73)$ ．

已知：在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ．

（1）求作： $ΔABC$ 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若 $ΔABC$ 的外接圆的圆心 $O$ 到 $BC$ 边的距离为4， $BC = 6$ ，则 $S_{⊙ O} =$ 　　．

小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

二次函数 $y = a x^{2} + bx + 2$ 的图象交 $x$ 轴于点 $(- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．动点 $M$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $AB$ 方向运动，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$ ，交抛物线于点 $D$ ，连接 $AC$ ，设运动的时间为 $t$ 秒．

（1）求二次函数 $y = a x^{2} + bx + 2$ 的表达式；

（2）连接 $BD$ ，当 $t = \frac{3}{2}$ 时，求 $ΔDNB$ 的面积；

（3）在直线 $MN$ 上存在一点 $P$ ，当 $ΔPBC$ 是以 $∠ BPC$ 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$ 的坐标；

（4）当 $t = \frac{5}{4}$ 时，在直线 $MN$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $∠ AQC + ∠ OAC = 90 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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