试证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根。-优题课

某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况（新闻，体育，动画，娱乐，戏曲），从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有多少人？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？

（4）该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 $P (x, y)$ 的动圆经过点 $A (1, 2)$ 且与 $x$ 轴相切于点 $B$ ．

（1）当 $x = 2$ 时，求 $⊙ P$ 的半径；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　　的距离等于到　　的距离的所有点的集合．

（4）当 $⊙ P$ 的半径为1时，若 $⊙ P$ 与以上（2）中所得函数图象相交于点 $C$ 、 $D$ ，其中交点 $D (m, n)$ 在点 $C$ 的右侧，请利用图②，求 $\cos ∠ APD$ 的大小．

已知，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 为 $BC$ 的中点．

（1）如图①，若点 $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $AC$ 上的点，且 $DE ⊥ DF$ ，求证： $BE = AF$ ；

（2）若点 $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $CA$ 延长线上的点，且 $DE ⊥ DF$ ，那么 $BE = AF$ 吗？请利用图②说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $OABC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 的坐标为 $(1, \sqrt{3})$ ．

（1）求图象过点 $B$ 的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$ ， $B$ 的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $y$ （单位： $m)$ 与飞行时间 $x$ （单位： $s)$ 之间具有函数关系 $y = - 5 x^{2} + 20 x$ ，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 $15 m$ 时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？