将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片
和
．将这两张三角形胶片的顶点
与顶点
重合，把绕点顺时针方向旋转，这时
与
相交于点
．
（1）当旋转至如图②位置，点
，
在同一直线上时，
与
的数量关系是 ． 2分
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接
，探索
与
之间有怎样的位置关系，并证明．
如图，某河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上的点A处和点B处各有一棵大树，AB=30米，某人在河岸MN上选一点C，AC⊥MN，在直线MN上从点C前进一段路程到达点D，测得∠ADC=30°，∠BDC=60°，求这条河的宽度．（
≈1.732，结果保留三个有效数字）．
如图，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上（点B除外）选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN=90°，请在图中利用尺规作图画出点P的位置（要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹）．
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．
求证：FP=EP．
先化简，再求值：
，其中
．
如图，在
OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．