计算：．-优题课

如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点 $C$ 在直线 $m$ 上，分别过点 $A$ 、 $B$ 作 $AE ⊥$ 直线 $m$ 于点 $E$ ， $BD ⊥$ 直线 $m$ 于点 $D$ ．

①求证： $EC = BD$ ；

②若设 $ΔAEC$ 三边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，利用此图证明勾股定理．

已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $\sqrt{x - 3} + y^{2} - 4 y + 4 = 0$ ，求代数式 $\frac{x^{2} - y^{2}}{xy} \cdot \frac{1}{x^{2} - 2 xy + y^{2}} \div \frac{x}{x^{2} y - x y^{2}}$ 的值．

计算 ${(- \frac{1}{2})}^{2} + {(3 - π)}^{0} + | \sqrt{3} - 2 | + 2 \sin 60 ° - \sqrt{8}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过原点 $O$ ，顶点为 $A (2, - 4)$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点 $P$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的对称轴上的一点，点 $Q$ 在该抛物线上，当四边

形 $OAQP$ 为菱形时，求出点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 在第一象限的图象上是否存在一点 $M$ ，使得点 $M$ 到直线 $OP$ 的距离与其到 $x$ 轴的距离相等？若存在，求出直线 $OM$ 的函数解析式；若不存在，请说明理由．

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 延长线上一点， $BD = BC$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ ， $CD$ ．

（1）求证： $AB = BF$ ；

（2）求 $∠ AEB$ 的度数；

（3）当 $∠ A = 60 °$ 时，求 $\frac{BE}{BF}$ 的值．