设等腰三角形顶角为α，一腰上的高线与底边所夹的角为β，是否存-优题课

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的对称中心为坐标原点 $O$ ， $AD ⊥ y$ 轴于点 $E$ （点 $A$ 在点 $D$ 的左侧），经过 $E$ 、 $D$ 两点的函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + mx + 1 (x ⩾ 0)$ 的图象记为 $G_{1}$ ，函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - mx - 1 (x < 0)$ 的图象记为 $G_{2}$ ，其中 $m$ 是常数，图象 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 合起来得到的图象记为 $G$ ．设矩形 $ABCD$ 的周长为 $L$ ．

（1）当点 $A$ 的横坐标为 $- 1$ 时，求 $m$ 的值；

（2）求 $L$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）当 $G_{2}$ 与矩形 $ABCD$ 恰好有两个公共点时，求 $L$ 的值；

（4）设 $G$ 在 $- 4 ⩽ x ⩽ 2$ 上最高点的纵坐标为 $y_{0}$ ，当 $\frac{3}{2} ⩽ y_{0} ⩽ 9$ 时，直接写出 $L$ 的取值范围．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $AB = 4$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于点 $D$ （点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），作 $∠ DPQ = 60 °$ ，边 $PQ$ 交射线 $DC$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）用含 $t$ 的代数式表示线段 $DC$ 的长；

（2）当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，求 $t$ 的值；

（3）设 $ΔPDQ$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）当线段 $PQ$ 的垂直平分线经过 $ΔABC$ 一边中点时，直接写出 $t$ 的值．

在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $CD$ 上一点（点 $E$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连结 $BE$ ．

【感知】如图①，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．易证 $ΔABF ≅ ΔBCE$ ．（不需要证明）

【探究】如图②，取 $BE$ 的中点 $M$ ，过点 $M$ 作 $FG ⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，交 $AD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $BE = FG$ ．

（2）连结 $CM$ ，若 $CM = 1$ ，则 $FG$ 的长为　　．

【应用】如图③，取 $BE$ 的中点 $M$ ，连结 $CM$ ．过点 $C$ 作 $CG ⊥ BE$ 交 $AD$ 于点 $G$ ，连结 $EG$ 、 $MG$ ．若 $CM = 3$ ，则四边形 $GMCE$ 的面积为　　．

某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量 $y$ （立方米）与时间 $x$ （分 $)$ 之间的部分函数图象如图所示．

（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．

（2）当 $3 ⩽ x ⩽ 5.5$ 时，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是　　立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为　　分钟．

某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：

20	21	19	16	27	18	31	29	21	22
25	20	19	22	35	33	19	17	18	29
18	35	22	15	18	18	31	31	19	22

整理上面数据，得到条形统计图：

样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：

统计量	平均数	众数	中位数
数值	23	$m$	21

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上表中众数 $m$ 的值为　　；

（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据　　来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数” $)$

（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．

20	21	19	16	27	18	31	29	21	22
25	20	19	22	35	33	19	17	18	29
18	35	22	15	18	18	31	31	19	22

20	21	19	16	27	18	31	29	21	22
25	20	19	22	35	33	19	17	18	29
18	35	22	15	18	18	31	31	19	22

20	21	19	16	27	18	31	29	21	22
25	20	19	22	35	33	19	17	18	29
18	35	22	15	18	18	31	31	19	22