如图所示，在△BAC中，ABAC，以AB为直径的⊙O交AB于-优题课

抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 在 $B$ 的左边）．

（1） $▱ ACDE$ 的顶点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，顶点 $E$ 在 $y$ 轴右侧的抛物线上；

①如图（1），若点 $C$ 的坐标是 $(0, 3)$ ，点 $E$ 的横坐标是 $\frac{3}{2}$ ，直接写出点 $A$ ， $D$ 的坐标．

②如图（2），若点 $D$ 在抛物线上，且 $▱ ACDE$ 的面积是12，求点 $E$ 的坐标．

（2）如图（3）， $F$ 是原点 $O$ 关于抛物线顶点的对称点，不平行 $y$ 轴的直线 $l$ 分别交线段 $AF$ ， $BF$ （不含端点）于 $G$ ， $H$ 两点．若直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，求证： $FG + FH$ 的值是定值．

问题提出

如图（1），在 $ΔA BC$ 和 $ΔDEC$ 中， $∠ ACB = ∠ DCE = 90 °$ ， $BC = AC$ ， $EC = DC$ ，点 $E$ 在 $ΔABC$ 内部，直线 $AD$ 与 $BE$ 于点 $F$ ．线段 $AF$ ， $BF$ ， $CF$ 之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点 $D$ ， $F$ 重合时，直接写出一个等式，表示 $AF$ ， $BF$ ， $CF$ 之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点 $D$ ， $F$ 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在 $ΔABC$ 和 $ΔDEC$ 中， $∠ ACB = ∠ DCE = 90 °$ ， $BC = kAC$ ， $EC = kDC (k$ 是常数），点 $E$ 在 $ΔABC$ 内部，直线 $AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$ ．直接写出一个等式，表示线段 $AF$ ， $BF$ ， $CF$ 之间的数量关系．

在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A$ ， $B$ 两种农作物为原料开发了一种有机产品． $A$ 原料的单价是 $B$ 原料单价的1.5倍，若用900元收购 $A$ 原料会比用900元收购 $B$ 原料少 $100 kg$ ．生产该产品每盒需要 $A$ 原料 $2 kg$ 和 $B$ 原料 $4 kg$ ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）求每盒产品的成本（成本 $=$ 原料费 $+$ 其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是 $x$ 元 $(x$ 是整数），每天的利润是 $w$ 元，求 $w$ 关于 $x$ 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过 $a$ 元 $(a$ 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C$ 是 $\hat{BD}$ 的中点，过点 $C$ 作 $AD$ 的垂线，垂足是 $E$ ．连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\frac{DC}{DF} = \sqrt{6}$ ，求 $\cos ∠ ABD$ 的值．

如图是由小正方形组成的 $5 \times 7$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 $ABCD$ 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中，先在边 $AB$ 上画点 $E$ ，使 $AE = 2 BE$ ，再过点 $E$ 画直线 $EF$ ，使 $EF$ 平分矩形 $ABCD$ 的面积；

（2）在图（2）中，先画 $ΔBCD$ 的高 $CG$ ，再在边 $AB$ 上画点 $H$ ，使 $BH = DH$ ．