(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点
处的切线的倾斜角为
,问:
在什么范围取值时,对于任意的
,函数g(x)=x3 +x2
在区间
上总存在极值?
(Ⅲ)当时,设函数
,若在区间
上至少存在一个
,
使得成立,试求实数
的取值范围.
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入
(单位:千元)的数据如下表:
年份 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
年份代号 | 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
人均纯收入 | 2.9 |
3.3 |
3.6 |
4.4 |
4.8 |
5.2 |
5.9 |
(1)求
关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,
如图,四棱锥
中,底面
为矩形,
,
为
的中点.
(1)证明:
;
(2)设二面角
为60°,
,
,求三棱锥
的体积.
已知数列
满足
(1)证明
是等比数列,并求
的通项公式;
(2)证明:
.
设函数
,记
的解集为
,
的解集为
.
(1)求
;
(2)当
时,证明:
.
将圆
上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线
.
(1)写出
的参数方程;
(2)设直线
与
的交点为
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段
的中点且与
垂直的直线的极坐标方程.