把下列各式化成最简二次根式：⑴；⑵．-优题课

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）试探究 $ΔABC$ 的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点 $P$ 是抛物线上一点（不与点 $A$ 重合），且 $S_{ΔPBC} = S_{ΔABC}$ ，求 $∠ APB$ 的度数；

（3）在（2）的条件下，点 $E$ 是 $x$ 轴上方抛物线上一点，点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 $E$ 和点 $F$ ，使得以点 $B$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $∠ MBN = 90 °$ ，点 $C$ 是 $∠ MBN$ 平分线上的一点，过点 $C$ 分别作 $AC ⊥ BC$ ， $CE ⊥ BN$ ，垂足分别为点 $C$ ， $E$ ， $AC = 4 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为线段 $BE$ 上的一点（点 $P$ 不与点 $B$ 、 $E$ 重合），连接 $CP$ ，以 $CP$ 为直角边，点 $P$ 为直角顶点，作等腰直角三角形 $CPD$ ，点 $D$ 落在 $BC$ 左侧．

（1）求证： $\frac{CP}{CD} = \frac{CE}{CB}$ ；

（2）连接 $BD$ ，请你判断 $AC$ 与 $BD$ 的位置关系，并说明理由；

（3）设 $PE = x$ ， $ΔPBD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

如图，一次函数 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ 、交 $y$ 轴于点 $B$ ， $∠ ABO$ 的平分线交 $x$ 轴于点 $C$ ，过点 $C$ 作直线 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ．

（1）求直线 $CE$ 的解析式；

（2）在线段 $AB$ 上有一动点 $P$ （不与点 $A$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ x$ 轴， $PN ⊥ y$ 轴，垂足为点 $M$ 、 $N$ ，是否存在点 $P$ ，使线段 $MN$ 的长最小？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第 $x$ 天 $(1 ⩽ x ⩽ 30$ 且 $x$ 为整数）的销量为 $y$ 件．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第 $x$ 天的利润为 $W$ 元，试求出 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

如图， $ΔACE$ ， $ΔACD$ 均为直角三角形， $∠ ACE = 90 °$ ， $∠ ADC = 90 °$ ， $AE$ 与 $CD$ 相交于点 $P$ ，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 恰好经过点 $E$ ，并与 $AC$ ， $AE$ 分别交于点 $B$ 和点 $F$ ．

（1）求证： $∠ ADF = ∠ EAC$ ．

（2）若 $PC = \frac{2}{3} PA$ ， $PF = 1$ ，求 $AF$ 的长．