问题背景

在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB},\mathit{BC},\mathit{AC}$三边的长分别为 $\sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{13}$，求这个三角形的面积。小辉在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 $1$），再在网格中画出格点 $△\mathit{ABC}$（即 $△\mathit{ABC}$三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需要求出 $△\mathit{ABC}$的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将 $△\mathit{ABC}$的面积直接填写在横线上，＿＿＿＿＿.

思维拓展

（2）我们把上述求 $△\mathit{ABC}$面积的方法叫做构图法，若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{5}a,2\sqrt{2}a,\sqrt{17}a\mathrm{}\left(a>0\right)$，请利用②的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$）画出相应的 $△\mathit{ABC}$，并求出它的面积.

探索创新

（3）若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{m^2+16n^2},\sqrt{9m^2+4n^2},2\sqrt{m^2+n^2}(m>0,n>0$，且 $m\ne n)$，试运用构图法求出这个三角形的面积.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等