（1）证明：a21b2a2(ab1)2a1baab1；（2）-优题课

（1）证明： $\sqrt{a^{2} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{a^{2}}{{(ab + 1)}^{2}}} = |a + \frac{1}{b} - \frac{a}{ab + 1}|$ ；

（2）利用（1）式计算： $\sqrt{1 + 1990^{2} + \frac{1990^{2}}{1991^{2}}} - \frac{1}{1991}$ .

科目数学题型解答题难度中等

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (5, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, \frac{5}{2})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $ΔACP$ 是以点 $A$ 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $G$ 为抛物线上的一动点，过点 $G$ 作 $GE$ 垂直于 $y$ 轴于点 $E$ ，交直线 $AC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $F$ ，连接 $EF$ ，当线段 $EF$ 的长度最短时，求出点 $G$ 的坐标．

如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $6 cm$ ，射线 $PM$ 经过点 $O$ ， $OP = 10 cm$ ，射线 $PN$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $Q$ ． $A$ 、 $B$ 两点同时从点 $P$ 出发，点 $A$ 以 $5 cm / s$ 的速度沿射线 $PM$ 方向运动，点 $B$ 以 $4 cm / s$ 的速度沿射线 $PN$ 方向运动，设运动时间为 $ts$ ．

（1）求 $PQ$ 的长；

（2）当直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切时，求证： $AB ⊥ PN$ ；

（3）当 $t$ 为何值时，直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切？

如图，一次函数 $y = kx + 2$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $P$ 、 $G$ 两点，过点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴，一次函数图象分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $C$ 、 $D$ 两点， $\frac{CD}{CP} = \frac{1}{2}$ ，且 $S_{ΔADP} = 6$ ．

（1）求点 $D$ 坐标；

（2）求一次函数和反比例函数的表达式；

（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量 $x$ 的取值范围．

某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树 $DE$ 的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上 $A$ 点处测得树顶端 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 $C$ 处测得树顶端 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，已知 $A$ 点的高度 $AB$ 为2米，台阶 $AC$ 的坡度 $i = 1 : 2$ ，且 $B$ ， $C$ ， $E$ 三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树 $DE$ 的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

节能电动车越来越受到人们的喜欢，新开发的各种品牌电动车相继投入市场．小李车行经营的 $A$ 型节能电动车2015年销售总额为 $m$ 万元，2016年每辆 $A$ 型节能电动车的销售价比2015年降低2000元，若2015年和2016年卖出的节能电动车的数量相同（同一型号的节能电动车每辆的销售价格相同），则2016年的销售总额比2015年减少 $20 %$ ．

（1）2016年 $A$ 型节能电动车每辆售价多少万元？（用列方程方法解答）

（2）小李车行计划端午节后新购进一批 $A$ 型节能电动车和新型 $B$ 型节能电动车，每购进3辆节能电动车，批发商就给车行返回1500元．若新款 $B$ 型节能电动车的进货数量是 $A$ 型节能电动车的进货数量的2倍，全部销售获得的利润不少于18万元，且2016年 $A$ ， $B$ 两种型号节能电动车的进货和销售价格如表，那么2016年新款 $B$ 型节能电动车至少要购进多少辆？

	$A$ 型节能电动车	$B$ 型节能电动车
进货价格（万元 $/$ 辆）	0.55	0.7
销售价格（万元 $/$ 辆）	2016年的销售价格	2