一元二次方程的两根为，，且，点在抛物线上，求点关于抛物线的对-优题课

抛物线 $y ＝ a x^{2} + c$ 与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如图1，若 $P （ 1, ﹣ 3 ）, B （ 4, 0 ）$ ．

①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足 $∠ DPO ＝ ∠ POB$ ，求点D的坐标；

（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， $\frac{OE + OF}{OC}$ 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

在△ABC中，P为边AB上一点．

（1）如图1，若 $∠ ACP ＝ ∠ B$ ，求证： $A C^{2} ＝ AP • AB$ ；

（2）若M为CP的中点， $AC ＝ 2$ ．

①如图2，若 $∠ PBM ＝ ∠ ACP$ ， $AB ＝ 3$ ，求BP的长；

②如图3，若 $∠ ABC ＝ 45 °$ ， $∠ A ＝ ∠ BMP ＝ 60 °$ ，直接写出BP的长．

某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

其中a为常数，且 $3 \leq a \leq 5$ 。

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y₁万元、y₂万元，直接写出y₁、y₂与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：AC平分 $∠ DAB$ ；

（2）连接BE交AC于点F，若 $\cos ∠ CAD = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{AF}{FC}$ 的值．

已知反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ ．

（1）若该反比例函数的图象与直线 $y ＝ kx + 4 （ k \neq 0 ）$ 只有一个公共点，求k的值；

（2）如图，反比例函数 $y = \frac{4}{x} （ 1 \leq x \leq 4 ）$ 的图象记为曲线C₁，将C₁向左平移2个单位长度，得曲线C₂，请在图中画出C₂，并直接写出C₁平移至C₂处所扫过的面积．