已知函数，，若，求的解析式．-优题课

如图，已知二面角 $α - M N - β$ 的大小为 $60 °$ ，菱形 $A B C D$ 在面 $β$ 内， $A, B$ 两点在棱 $M N$ 上， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D O ⊥$ 面 $α$ ，垂足为 $O$ .
(1)证明： $A B ⊥$ 平面 $O D E$ ；
(2)求异面直线 $B C$ 与 $O D$ 所成角的余弦值.

某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：

$(a, b)$ , $(a, \vec{b})$ , $(a, b)$ , $(\overset{⇀}{a}, b)$ , $(\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b})$ , $(a, b)$ , $(a, b)$ , $(a, \vec{b})$ ,

$(\overset{⇀}{a}, b)$ , $(a, \vec{b})$ , $(\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b})$ , $(a, b)$ , $(a, \vec{b})$ , $(\overset{⇀}{a}, b)$ , $(a, b)$

其中 $a, \overset{⇀}{a}$ 分别表示甲组研发成功和失败； $b, \overset{⇀}{b}$ 分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.,

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}, n \in N^{+}$ .
(1)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)设 $b_{n} = 2^{a_{n}} + (- 1)^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多1，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（1）求轨迹为 $C$ 的方程
（2）设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $p (- 2, 1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

$π$ 为圆周率， $e = 2.71828 . . .$ 为自然对数的底数.
（1）求函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的单调区间；
（2）求 $e^{3}, 3^{e}, e^{π}, π^{e}, 3^{π}, π^{3}$ 这6个数中的最大数与最小数；
（3）将 $e^{3} ， 3^{e} ， e^{π} ， π^{e} ， 3^{π} ， π^{3}$ 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.