一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中-优题课

题文

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

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某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入 $y$ （单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号 $t$	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入 $y$	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.
（1）证明： $P B ∥ 平面 A E C$ ；
（2）设二面角 $D - A E - C$ 为60°， $A P = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $E - A C D$ 的体积.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$
（1）证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . . . + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

设函数 $f (x) = 2 |x - 1| + x - 1, g (x) = 16 x^{2} - 8 x + 1$ ，记 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $M$ ， $g (x) \leq 4$ 的解集为 $N$ .
（1）求 $M$ ；
（2）当 $x \in M \cap N$ 时，证明： $x^{2} f (x) + x {[f (x)]}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线 $C$ .
（1）写出 $C$ 的参数方程；
（2）设直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

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