因式分解：44xx2．-优题课

坐火车从上海到娄底，高铁 $G 1329$ 次列车比快车 $K 575$ 次列车要少9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米， $G 1329$ 的平均速度是 $K 575$ 的2.5倍．

（1）求 $K 575$ 的平均速度；

（2）高铁 $G 1329$ 从上海到娄底只需几小时？

数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面 $A$ 处测得山顶 $B$ 的仰角 $∠ BAC$ 为 $38.7 °$ ，再由 $A$ 沿水平方向前进377米到达山脚 $C$ 处，测得山坡 $BC$ 的坡度为 $1 : 0.6$ ，请你求出仙女峰的高度（参考数据： $\tan 38.7 ° \approx 0.8)$

为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）被抽查的学生共有多少人？

（2）将折线统计图补充完整；

（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$ 是 $y$ 轴上的一点，且以 $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图2， $CE / / x$ 轴与抛物线相交于点 $E$ ，点 $H$ 是直线 $CE$ 下方抛物线上的动点，过点 $H$ 且与 $y$ 轴平行的直线与 $BC$ ， $CE$ 分别相交于点 $F$ ， $G$ ，试探究当点 $H$ 运动到何处时，四边形 $CHEF$ 的面积最大，求点 $H$ 的坐标及最大面积；

（4）若点 $K$ 为抛物线的顶点，点 $M (4, m)$ 是该抛物线上的一点，在 $x$ 轴， $y$ 轴上分别找点 $P$ ， $Q$ ，使四边形 $PQKM$ 的周长最小，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标．

如图，已知 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 为 $BC$ 延长线上的一点，点 $A$ 为圆上一点，且 $AB = AD$ ， $AC = CD$ ．

（1）求证： $ΔACD ∽ ΔBAD$ ；

（2）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线．