分解因式：a2（xy）2b2（yx）2．-优题课

将正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AB'$ ，记旋转角为 $α$ ，连接 $BB'$ ，过点 $D$ 作 $DE$ 垂直于直线 $BB'$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $DB'$ ， $CE$ ．

（1）如图1，当 $α = 60 °$ 时， $ΔDEB'$ 的形状为　　，连接 $BD$ ，可求出 $\frac{BB'}{CE}$ 的值为　　；

（2）当 $0 ° < α < 360 °$ 且 $α \neq 90 °$ 时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B'$ ， $E$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{BE}{B' E}$ 的值．

小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点 $D$ 是 $\hat{BC}$ 上一动点，线段 $BC = 8 cm$ ，点 $A$ 是线段 $BC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF / / BD$ ，交 $DA$ 的延长线于点 $F$ ．当 $ΔDCF$ 为等腰三角形时，求线段 $BD$ 的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点 $D$ 在 $\hat{BC}$ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $BD$ ， $CD$ ， $FD$ 的长度，得到下表的几组对应值．

$BD / cm$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
$CD / cm$	8.0	7.7	7.2	6.6	5.9	$a$	3.9	2.4	0
$FD / cm$	8.0	7.4	6.9	6.5	6.1	6.0	6.2	6.7	8.0

操作中发现：

①“当点 $D$ 为 $\hat{BC}$ 的中点时， $BD = 5.0 cm$ ”．则上表中 $a$ 的值是　5.0　；

②“线段 $CF$ 的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．

（2）将线段 $BD$ 的长度作为自变量 $x$ ， $CD$ 和 $FD$ 的长度都是 $x$ 的函数，分别记为 $y_{CD}$ 和 $y_{FD}$ ，并在平面直角坐标系 $xOy$ 中画出了函数 $y_{FD}$ 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 $y_{CD}$ 的图象；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当 $ΔDCF$ 为等腰三角形时，线段 $BD$ 长度的近似值（结果保留一位小数）．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，且 $OA = OB$ ，点 $G$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$ 的坐标；

（2）点 $M$ ， $N$ 为抛物线上两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$ 为抛物线上点 $M$ ， $N$ 之间（含点 $M$ ， $N)$ 的一个动点，求点 $Q$ 的纵坐标 $y_{Q}$ 的取值范围．

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 $- -$ 三分角器．图1是它的示意图，其中 $AB$ 与半圆 $O$ 的直径 $BC$ 在同一直线上，且 $AB$ 的长度与半圆的半径相等； $DB$ 与 $AC$ 垂直于点 $B$ ， $DB$ 足够长．

使用方法如图2所示，若要把 $∠ MEN$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $DB$ 经过 $∠ MEN$ 的顶点 $E$ ，点 $A$ 落在边 $EM$ 上，半圆 $O$ 与另一边 $EN$ 恰好相切，切点为 $F$ ，则 $EB$ ， $EO$ 就把 $∠ MEN$ 三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $C$ 在同一直线上， $EB ⊥ AC$ ，垂足为点 $B$ ，　　．

求证：　　．

暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身 $x$ （次 $)$ ，按照方案一所需费用为 $y_{1}$ （元 $)$ ，且 $y_{1} = k_{1} x + b$ ；按照方案二所需费用为 $y_{2}$ （元 $)$ ，且 $y_{2} = k_{2} x$ ．其函数图象如图所示．

（1）求 $k_{1}$ 和 $b$ 的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和 $k_{2}$ 的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．