暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下-优题课

题文

暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身 $x$ （次 $)$ ，按照方案一所需费用为 $y_{1}$ （元 $)$ ，且 $y_{1} = k_{1} x + b$ ；按照方案二所需费用为 $y_{2}$ （元 $)$ ，且 $y_{2} = k_{2} x$ ．其函数图象如图所示．

（1）求 $k_{1}$ 和 $b$ 的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和 $k_{2}$ 的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的应用

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为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，分别写在完全相同的 $4$ 张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“ $4$ ”的概率是＿＿＿＿＿＿；

（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“ $2$ ”和“ $3$ ”的概率．

计算： $\sqrt{12} - 3 \tan 30 ° +$ $（ \frac{1}{2} ）^{﹣ 2} +$ | $|\sqrt{3} - 2|$ ．

抛物线的解析式是 $y ＝ ﹣ x^{2} + 4 x + a$ ．直线 $y ＝ ﹣ x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $F$ 与直线上的点 $G （ 5 ， ﹣ 3 ）$ 关于 $x$ 轴对称．

（1）如图①，求射线 $M F$ 的解析式；

（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是 $x_{1}$ ， $x_{2} （ x_{1} ＜ x_{2} ）$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的值；

（3）如图②，当抛物线经过点 $C （ 0 ， 5 ）$ 时，分别与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧．在 $x$ 轴上方的抛物线上有一动点 $P$ ，设射线 $A P$ 与直线 $y ＝ ﹣ x + 2$ 交于点 $N$ ．求 $\frac{PN}{AN}$ 的最大值．

如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足是点 $H$ ，过点 $C$ 作直线分别与 $A B ， A D$ 的延长线交于点 $E ， F$ ，且 $∠ E C D ＝ 2 ∠ B A D$ ．

（1）求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）如果 $A B ＝ 10 ， C D ＝ 6$ ，

①求 $A E$ 的长；

②求 $△ A E F$ 的面积．

习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费 $4000$ 元集中采购了 $A$ 种树苗 $500$ 株， $B$ 种树苗 $400$ 株，已知 $B$ 种树苗单价是 $A$ 种树苗单价的 $1.25 倍$ ．

（1）求 $A 、 B$ 两种树苗的单价分别是多少元？

（2）红旗村决定再购买同样的树苗 $100$ 株用于补充栽种，其中 $A$ 种树苗不多于 $25$ 株，在单价不变，总费用不超过 $480$ 元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

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