解方程：3x1．-优题课

如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $BC$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，取 $\hat{BF}$ 的中点 $D$ ，连接 $AD$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ AB$ 于 $H$ ．

（1）求证： $ΔHBE ∽ ΔABC$ ；

（2）若 $CF = 4$ ， $BF = 5$ ，求 $AC$ 和 $EH$ 的长．

为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

（1）被随机抽取的学生共有多少名？

（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；

（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

“五 $\cdot$ 一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 $A$ 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 $C$ 在自己的北偏东 $45 °$ 方向，于是沿河边笔直的绿道 $l$ 步行200米到达 $B$ 处，这时定位显示小陈家 $C$ 在自己的北偏东 $30 °$ 方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头 $D$ 处（精确到1米）（备用数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

有一张边长为 $a$ 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 $b$ 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式： $a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，

对于方案一，小明是这样验证的：

$a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AC$ 是对角线， $BE ⊥ AC$ ， $DF ⊥ AC$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，求证： $AE = CF$ ．