一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。-优题课

某花店每天以每枝 $5$ 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 $10$ 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进 $16$ 枝玫瑰花，求当天的利润 $y$ (单位：元)关于当天需求量 $n$ （单位：枝， $n \in N$ ）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进 $16$ 枝玫瑰花， $X$ 表示当天的利润（单位：元），求 $X$ 的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

已知 $a, b, c$ 分别为 $∆ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$

（1）求 $A$

（2）若 $a = 2$ , $∆ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ,求 $b, c$ .

数列 $\{x_{n}\}$ 满足： $x_{1} = 0, x_{n + 1} = - {x_{n}}^{2} + x_{n} + c (n \in N^{+})$

（I）证明：数列 $\{x_{n}\}$ 是单调递减数列的充分必要条件是 $c < 0$

（II）求 $c$ 的取值范围，使数列 $\{x_{n}\}$ 是单调递增数列。

如图， $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线交直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 于点 $Q$ ；

（I）若点 $Q$ 的坐标为(4,4)；求椭圆 $C$ 的方程；
（II）证明：直线 $P Q$ 与椭圆 $C$ 只有一个交点 $Q$ .

设 $f (x) = a e^{x} + \frac{1}{a e^{x}} + b (a > 0)$ .

（I）求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值；
（II）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 的切线方程为 $y = \frac{3}{2} x$ ；求 $a, b$ 的值.