已知，求(1)；(2).-优题课

如图， $OF$ 是 $∠ MON$ 的平分线，点 $A$ 在射线 $OM$ 上， $P$ ， $Q$ 是直线 $ON$ 上的两动点，点 $Q$ 在点 $P$ 的右侧，且 $PQ = OA$ ，作线段 $OQ$ 的垂直平分线，分别交直线 $OF$ 、 $ON$ 于点 $B$ 、点 $C$ ，连接 $AB$ 、 $PB$ ．

（1）如图1，当 $P$ 、 $Q$ 两点都在射线 $ON$ 上时，请直接写出线段 $AB$ 与 $PB$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $P$ 、 $Q$ 两点都在射线 $ON$ 的反向延长线上时，线段 $AB$ ， $PB$ 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3， $∠ MON = 60 °$ ，连接 $AP$ ，设 $\frac{AP}{OQ} = k$ ，当 $P$ 和 $Q$ 两点都在射线 $ON$ 上移动时， $k$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

某商场对某种商品进行销售，第 $x$ 天的销售单价为 $m$ 元 $/$ 件，日销售量为 $n$ 件，其中 $m$ ， $n$ 分别是 $x (1 ⩽ x ⩽ 30$ ，且 $x$ 为整数）的一次函数，销售情况如表：

销售第 $x$ 天	第1天	第2天	第3天	第4天	$\dots$	第30天
销售单价 $m$ （元 $/$ 件）	49	48	47	46	$\dots$	20
日销售量 $n$ （件 $)$	45	50	55	60	$\dots$	190

（1）观察表中数据，分别直接写出 $m$ 与 $x$ ， $n$ 与 $x$ 的函数关系式：　　，　　；

（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？

（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $AC$ 为 $⊙ O$ 的弦，过 $⊙ O$ 外的点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $DC$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ，且 $∠ D = 2 ∠ A$ ，作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$ ．

（1）判断直线 $DC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $HB = 2$ ， $\cos D = \frac{3}{5}$ ，请求出 $AC$ 的长．

学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．

（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？

（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？

在平面直角坐标系中， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点坐标分别为 $A (- 6, 3)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 1, 1)$ ．

（1）如图1，顺次连接 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ ，得 $ΔABC$ ．

①点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A_{1}$ 的坐标是　　，点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点 $B_{1}$ 的坐标是　　；

②画出 $ΔABC$ 关于原点对称的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

③ $\tan ∠ A_{2} C_{2} B_{2} =$ 　　；

（2）利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为1个单位长度，且较小内角为 $60 °$ ，原来的格点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别对应新网格中的格点 $A'$ ， $B'$ ， $C'$ ，顺次连接 $A' B'$ ， $B' C'$ ， $C' A'$ ，得△ $A' B' C'$ ，则 $\tan ∠ A' C' B' =$ 　　．