如图，在四边形ABCD中，ABCD，M、N、P、Q分别为AD-优题课

如图，已知抛物线 $y ＝ ﹣ x^{2} + b x + c$ 经过 $A （ 0, 3 ）$ 和 $B （ \frac{7}{2}, - \frac{9}{4} ）$ 两点，直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ ， $P$ 是直线 $A B$ 上方的抛物线上的一个动点， $P D ⊥ x$ 轴交 $A B$ 于点 $D$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若 $P E ∥ x$ 轴交 $A B$ 于点 $E$ ，求 $P D + P E$ 的最大值；

（3）若以 $A ， P ， D$ 为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，请直接写出所有满足条件的点 $P$ ，点 $D$ 的坐标．

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边的中点，点 $O$ 在 $A C$ 边上， $⊙ O$ 经过点 $C$ 且与 $A B$ 边相切于点 $E$ ， $∠ F A C = \frac{1}{2} ∠ B D C$ ．

（1）求证： $A F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $B C ＝ 6$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $O D$ 的长．

为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少 $23$ 元，且 $84$ 元购买绳子的数量与 $360$ 元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为 $510$ 元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是　　；

（4）若该校有 $2700$ 名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．

如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ k ＞ 0 ， x ＞ 0 ）$ 的图象相交于点 $A$ 和点 $C （ 3, 2 ）$ ，与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $B$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）连接 $O A ， O C$ ，若点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $△ A O C$ 的面积．