你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体-优题课

计算： $- 1^{2} + {(2 - \sqrt{2})}^{0} - 4 \cos 60 ° - \sqrt[3]{- 8}$ ．

如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 过点 $A (1, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式及其顶点 $C$ 的坐标；

（2）设点 $D$ 是 $x$ 轴上一点，当 $\tan (∠ CAO + ∠ CDO) = 4$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图2．抛物线与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $P$ 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 $PA$ 交 $BE$ 于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ， $ΔBMP$ 和 $ΔEMN$ 的面积分别为 $m$ 、 $n$ ，求 $m - n$ 的最大值．

箭头四角形

模型规律

如图1，延长 $CO$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，则 $∠ BOC = ∠ 1 + ∠ B = ∠ A + ∠ C + ∠ B$ ．

因为凹四边形 $ABOC$ 形似箭头，其四角具有“ $∠ BOC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：①如图2， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F =$ 　 $2 α$ 　．

②如图3， $∠ ABE$ 、 $∠ ACE$ 的2等分线（即角平分线） $BF$ 、 $CF$ 交于点 $F$ ，已知 $∠ BEC = 120 °$ ， $∠ BAC = 50 °$ ，则 $∠ BFC =$ 　　．

③如图4， $B O_{i}$ 、 $C O_{i}$ 分别为 $∠ ABO$ 、 $∠ ACO$ 的2019等分线 $(i = 1$ ，2，3， $\dots$ ，2017， $2018)$ ．它们的交点从上到下依次为 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 、 $O_{3}$ 、 $\dots$ 、 $O_{2018}$ ．已知 $∠ BOC = m °$ ， $∠ BAC = n °$ ，则 $∠ B O_{1000} C =$ 　　度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形 $ABCD$ 中， $BC = CD$ ， $∠ BCD = 2 ∠ BAD$ ． $O$ 是四边形 $ABCD$ 内一点，且 $OA = OB = OD$ ．求证：四边形 $OBCD$ 是菱形．

渠县賨人谷是国家 $AAAA$ 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形 $ABCD$ ，想法测出了尾部 $C$ 看头顶 $B$ 的仰角为 $40 °$ ，从前脚落地点 $D$ 看上嘴尖 $A$ 的仰角刚好 $60 °$ ， $CB = 5 m$ ， $CD = 2.7 m$ ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 $3 m$ ．于是，他们很快就算出了 $AB$ 的长．你也算算？（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84 . \sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作直线 $DF / / BC$ ．

（1）判断直线 $DF$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AB = 6$ ， $AE = \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ ， $CE = \frac{4 \sqrt{7}}{5}$ ，求 $BD$ 的长．