解方程（1）3x（x2）2（2x）（2）（3）-优题课

在矩形 $ABCD$ 中， $AD > AB$ ，点 $P$ 是 $CD$ 边上的任意一点（不含 $C$ ， $D$ 两端点），过点 $P$ 作 $PF / / BC$ ，交对角线 $BD$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，将 $ΔPDF$ 沿对角线 $BD$ 翻折得到 $ΔQDF$ ， $QF$ 交 $AD$ 于点 $E$ ．

求证： $ΔDEF$ 是等腰三角形；

（2）如图2，将 $ΔPDF$ 绕点 $D$ 逆时针方向旋转得到△ $P^{'} D F^{'}$ ，连接 $P^{'} C$ ， $F^{'} B$ ．设旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ．

①若 $0 ° < α < ∠ BDC$ ，即 $D F^{'}$ 在 $∠ BDC$ 的内部时，求证：△ $D P^{'} C ∽$ △ $D F^{'} B$ ．

②如图3，若点 $P$ 是 $CD$ 的中点，△ $D F^{'} B$ 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan ∠ DB F^{'}$ 的值，如果不能，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，点 $P$ 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$ ， $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $D$ ．在直线 $l$ 上是否存在点 $M$ ，使得四边形 $CDPM$ 是平行四边形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $BC$ ， $PB$ ， $PC$ ，设 $ΔPBC$ 的面积为 $S$ ．

①求 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式；

②求 $P$ 点到直线 $BC$ 的距离的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．

参照学习函数的过程与方法，探究函数 $y = \frac{x - 2}{x} (x \neq 0)$ 的图象与性质．

因为 $y = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$ ，即 $y = - \frac{2}{x} + 1$ ，所以我们对比函数 $y = - \frac{2}{x}$ 来探究．

列表：

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y = - \frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$\dots$
$y = \frac{x - 2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	5	$- 3$	$- 1$	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以 $y = \frac{x - 2}{x}$ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）请把 $y$ 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

② $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象是由 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象向　　平移　　个单位而得到；

③图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）

（3）设 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ 是函数 $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象上的两点，且 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，试求 $y_{1} + y_{2} + 3$ 的值．

已知 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 是 $BC$ 延长线上一点， $AB = AD$ ， $AE$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ AEC = 30 °$ ．

（1）求证：直线 $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE ⊥ BC$ ，垂足为 $M$ ， $⊙ O$ 的半径为4，求 $AE$ 的长．

小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度 $AD$ ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头 $B$ ， $C$ 的俯角分别为 $∠ EAB = 60 °$ ， $∠ EAC = 30 °$ ，且 $D$ ， $B$ ， $C$ 在同一水平线上．已知桥 $BC = 30$ 米，求无人机飞行的高度 $AD$ ．（精确到0.01米．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$