已知的导数,且,求不等式的解集.-优题课

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已知的导数,且,求不等式的解集.

科目数学题型解答题难度容易

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有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50

（1）为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别	A	B	C	D	E
人数	50	100	150	150	50
抽取人数		6

（2）在（1）中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

如图,四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形, $O$ 为底面中心, $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .

（1）证明: $A_{1} B D / /$ 平面 $C D_{1} B_{1}$ ;
（2）求三棱柱 $A B D - A_{1} B_{1} D_{1}$ 的体积.

设 $S_{n}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
（1）若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列,推导 $S_{n}$ 的计算公式;
（2）若 $a_{1} = 1, q \neq 0$ ,且对所有正整数 $n$ ,有 $S_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ .判断 $\{a_{n}\}$ 是否为等比数列.

已知向量 $a = (\cos x, - \frac{1}{2}), b = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in R$ , 设函数 $f (x) = a \cdot b$ .
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期.
（2）求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

设函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{a} x, 0 \leq x \leq a \\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), a < x \leq 1 \end{cases}$ . $a$ 为常数且 $a \in (0, 1)$ .

（1）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (f (\frac{1}{3}))$ ；
（2）若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，但 $f (x) \neq 0$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的二阶周期点.证明函数 $f (x)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 $x_{1}, x_{2}$ ；
（3）对于（2）中的 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $A (x_{1}, f (f (x_{1}))), B (x_{2}, f (f (x_{2}))), C (a^{2}, 0)$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S (a)$ ，求 $S (a)$ 在区间 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ 上的最大值和最小值。

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