某厂有一块如图所示的△ABC铁板，根据需要，现要把它加工成一-优题课

如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 3 a (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ．与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $AC$ ， $BC$ ．已知 $ΔABC$ 的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$ ， $Q$ 两点．过 $P$ ， $Q$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $G$ ， $H$ ．若四边形 $PGHQ$ 为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ $(2, 0)$ ．点 $D$ 是抛物线上 $A$ ， $M$ 之间的一动点，且点 $D$ 不与 $A$ ， $M$ 重合，连接 $DB$ 交 $MN$ 于点 $E$ ．连接 $AD$ 并延长交 $MN$ 于点 $F$ ．在点 $D$ 运动过程中， $3 NE + NF$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $AB$ 与直径 $CD$ 垂直，垂足为 $M$ ， $CD$ 的延长线上有

一点 $P$ ，满足 $∠ PBD = ∠ DAB$ ．过点 $P$ 作 $PN ⊥ CD$ ，交 $OA$ 的延长线于点 $N$ ，连接 $DN$ 交 $AP$ 于点 $H$ ．

（1）求证： $BP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）如果 $OA = 5$ ， $AM = 4$ ，求 $PN$ 的值；

（3）如果 $PD = PH$ ，求证： $AH \cdot OP = HP \cdot AP$ ．

推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．

（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？

（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．

①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？

②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．

如图，一次函数 $y_{1} = ax + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点．点 $A$ 的横坐标为2，点 $B$ 的纵坐标为1．

（1）求 $a$ ， $b$ 的值．

（2）在反比例 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 第三象限的图象上找一点 $P$ ，使点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离最短，求点 $P$ 的坐标．

为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级： $A$ ．优秀； $B$ ．良好； $C$ ．及格： $D$ ．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．

垃圾分类知识测试成绩统计表

测试等级	百分比	人数
$A$ ．优秀	$5 %$	20
$B$ ．良好		60
$C$ ．及格	$45 %$	$m$
$D$ ．不及格	$n$

请结合统计表，回答下列问题：

（1）求本次参与调查的学生人数及 $m$ ， $n$ 的值；

（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；

（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．