（本题8分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF-优题课

（本题8分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请判断∠BAC与∠EDF是否相等，并证明你的结论．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，在 $▱ ABCD$ 中，以点 $B$ 为圆心， $BA$ 长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $E$ ，在 $AD$ 上截取 $AF = BE$ ．连接 $EF$ ．

（1）求证：四边形 $ABEF$ 是菱形；

（2）请用无刻度的直尺在 $▱ ABCD$ 内找一点 $P$ ，使 $∠ APB = 90 °$ ．（标出点 $P$ 的位置，保留作图痕迹，不写作法）

（1）计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 \sin 45 ° + {(- 2020)}^{0}$ ；

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} - (x - 1) > 3, \\ 2 x + 9 > 3 \cdot \end{matrix}$

小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为 $t$ （分钟），图1表示两人之间的距离 $s$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）的函数关系的图象；图2中线段 $AB$ 表示小华和商店的距离 $y_{1}$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息答案下列问题：

（1）填空：妈妈骑车的速度是　　米 $/$ 分钟，妈妈在家装载货物所用时间是　　分钟，点 $M$ 的坐标是　　．

（2）直接写出妈妈和商店的距离 $y_{2}$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；

（3）求 $t$ 为何值时，两人相距360米．

实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $CD$ 上的点 $A^{'}$ 处，得到折痕 $DE$ ，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $AD$ 上的点 $C'$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处，得到折痕 $EF$ ， $B^{'} C'$ 交 $AB$ 于点 $M$ ， $C' F$ 交 $DE$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形 $AE A^{'} D$ 的形状是　　；

（2）如图2，线段 $MC'$ 与 $ME$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若 $AC' = 2 cm$ ， $D C^{'} = 4 cm$ ，求 $DN : EN$ 的值．

如图，直线 $AB$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，已知点 $A$ 的坐标为 $(6, 1)$ ， $ΔAOB$ 的面积为8．

（1）填空：反比例函数的关系式为　 $y = \frac{6}{x}$ 　；

（2）求直线 $AB$ 的函数关系式；

（3）动点 $P$ 在 $y$ 轴上运动，当线段 $PA$ 与 $PB$ 之差最大时，求点 $P$ 的坐标．