一个可自由转动的圆盘,被分成12块相等的扇形,其中有3块染上-优题课

为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 $D$ 、 $C$ 、 $B$ 、 $A$ 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）扇形统计图中表示 $C$ 等次的扇形所对的圆心角的度数为　　度；

（3）学校决定从 $A$ 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点，对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $AM$ ，点 $E$ 是线段 $AM$ 上方抛物线上一动点， $EF ⊥ AM$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，交 $AM$ 于点 $D$ ．点 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，当 $EF$ 取最大值时：

①求 $PD + PC$ 的最小值；

②如图2， $Q$ 点为 $y$ 轴上一动点，请直接写出 $DQ + \frac{1}{4} OQ$ 的最小值．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 为直径，点 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，且 $PA = PC = \sqrt{2} AB$ ，连接 $PO$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $PO$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）证明： $\hat{AF} = \hat{CF}$ ；

（2）若 $\tan ∠ ABC = 2 \sqrt{2}$ ，证明： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $PB$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，若 $BC = 2$ ，求 $DE$ 的长．

我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 $| x - 2 |$ 的几何意义是数轴上 $x$ 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为 $| x + 1 | = | x - (- 1) |$ ，所以 $| x + 1 |$ 的几何意义就是数轴上 $x$ 所对应的点与 $- 1$ 所对应的点之间的距离．

（1）发现问题：代数式 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是多少？

（2）探究问题：如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 分别表示数 $- 1$ 、2、 $x$ ， $AB = 3$ ．

$∵ | x + 1 | + | x - 2 |$ 的几何意义是线段 $PA$ 与 $PB$ 的长度之和，

$∴$ 当点 $P$ 在线段 $AB$ 上时， $PA + PB = 3$ ，当点 $P$ 在点 $A$ 的左侧或点 $B$ 的右侧时， $PA + PB > 3$ ．

$∴ | x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是3．

（3）解决问题：

① $| x - 4 | + | x + 2 |$ 的最小值是　　；

②利用上述思想方法解不等式： $| x + 3 | + | x - 1 | > 4$ ；

③当 $a$ 为何值时，代数式 $| x + a | + | x - 3 |$ 的最小值是2．

甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．

（1）以 $x$ （单位：元）表示商品原价， $y$ （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？