(本题满分12分)双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(，4)，-优题课

(本题满分12分)双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(，4)，求其方程．

科目数学题型解答题难度容易

已知函数 $f (x) = \frac{x}{4} + \frac{a}{x} - \ln x - \frac{3}{2}$ ，其中 $a \in R$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于 $y = \frac{1}{2} x$ .
（1）求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a + b + c = 8$ .

（1）若 $a = 2, b = \frac{5}{2}$ ，求 $c o o s C$ 的值;
（2）若 $\sin A \cos^{2} \frac{B}{2} + \sin B \cos^{2} \frac{A}{2} = 2 \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{9}{2} \sin C$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值.

20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（1）求频率分布直方图中 $a$ 的值；
（2）分别球出成绩落在 $[50, 60)$ 与 $[60, 70)$ 中的学生人数；
（3）从成绩在 $[50, 70)$ 的学生中人选2人，求此2人的成绩都在 $[60, 70)$ 中的概率.

（已知 $\{a_{n}\}$ 是首项为1，公差为2的等差数列， $S_{n}$ 表示 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
（1）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；
（2）设 $\{b_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^{2} - (a_{4} + 1) q + S_{4} = 0$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

已知 $∆ A B P$ 的三个顶点在抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上， $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $M$ 为 $A B$ 的中点， $\overset{⇀}{P F} = 3 \overset{⇀}{F M}$ ；
（1）若 $|P F| = 3$ ，求点 $M$ 的坐标；
（2）求 $∆ A B P$ 面积的最大值.

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